Question

若二项式(

x

+

2

3 x

)n的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于

 

．

Answer 1

分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于80求得实数n的值，从而求得展开式中的二项式系数之和2ⁿ 的值．

解答：解：二项式(

x

+

2

3 x

)n的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r n

•x

n-r

2

•2^r•x-

r

3

=2^r•

C

r n

•x

3n-5r

6

，
令

3n-5r

6

=0，可得 3n=5r
，故展开式的常数项为 2^r•

C

r n

=2

3n

5

•

C

3n 5 n

=80，
解得n=5，
故该展开式中的二项式系数之和等于 2ⁿ=32，
故答案为：32．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．