Question

（理科加试题）若二项式(

2

3 x

+

x

)n的展开式中的常数项为第五项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

（1）∵Tr+1=

C

rn

(

2

3 x

)n-r(

x

)r，
x的指数为-

n-r

3

+

r

2

=0，
∵(

2

3 x

+

x

)n的展开式中的常数项为第五项，
∴r=4，
解得：n=10．　
（2）∵Tr+1=

C

r10

(

2

3 x

)10-r(

x

)r，
其系数为C₁₀^r•2^10-r．
设第k+1项的系数最大，则

C k10 •210-k≥ C k+110 •29-k C k10 •210-k≥ C k-110 •211-k

化简得：

2(k+1)≥10-k 11-k≥2k

即

8

3

≤k≤

11

3

，
∴k=3，
即第四项系数最大，T4=

C

310

•27•x-

5

6

=15360x-

5

6

．