Question

（本小题满分13分）

已知函数，.

（Ⅰ）求函数的零点个数。并说明理由；

（Ⅱ）设数列{ }（）满足，，证明：存在常数M,使得 对于任意的，都有≤ ．

Answer 1

解：（I）由，而，

的一个零点，且在（1，2）内有零点。

因此至少有两个零点。

解法1：记则

当上单调递增，则内至多只有一个零点。又因为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，

所以，

当单调递减，而内无零点；

当单调递减，而内无零点；

当单调递增，而内至多只有一个零点。

从而内至多只有一个零点。

综上所述，有且只有两个零点。

解法2：由，则

当从而上单调递增，

则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点。

综上所述，有且只有两个零点。

   （II）记的正零点为

   （1）当

而

由此猜测：。下面用数学归纳法证明。

①当显然成立。

②假设当时，由

因此，当成立。

故对任意的成立。

   （2）当，由（I）知，上单调递增，则，

即，

由此猜测：，下面用数学归纳法证明，

①当显然成立。

②假设当成立，则当时，

由

因此，当成立，

故对任意的成立

综上所述，存在常数，使得对于任意的