Question

如图(1)是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将MN和PB画出，并就这个正方体解决下面问题．

(1)求证：MN∥平面PBD；

(2)求证：AQ⊥平面PBD；

(3)求二面角P－DB－M的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：M．N．Q．B的位置如图所示．(正确标出给1分) 　　(1)∵ND∥MB且ND＝MB 　　∴四边形NDBM为平行四边形 　　∴MN∥DB　∴BD平面PBD，MN　∴MN∥平面PBD 　　(2)∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD， 　　∴BD⊥QC　又∵BD⊥AC， 　　∴BD⊥平面AQC　∵AQ面AQC 　　∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB， 　　∵BDPD＝B 　　∴AQ⊥面PDB 　　(3)解法1：分别取DB．MN中点E．F连结PE．EF．PF 　　∵在正方体中，PB＝PB 　　∴PE⊥DB　∵四边形NDBM为矩形 　　∴EF⊥DB　∴∠PEF为二面角P－DB－M为平面角 　　∵EF⊥平面PMN　∴EF⊥PF 　　设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中 　　∵　∴