Question

（15分）已知以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求t的值并求出圆C的方程．

Answer 1

（1），．
设圆的方程是 
令，得；令，得
，即：的面积为定值．------6分
（2）垂直平分线段．
，直线的方程是．
，解得：    -----------------9分
当时，圆心的坐标为，，  
此时到直线的距离，
圆与直线相交于两点。------------------12分．    ----
当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离
圆与直线不相交，
不符合题意舍去．    ------------------14分
圆的方程为．------------15分

（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．
（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．
解：（1）∵圆C过原点O，
∴OC²=t²+，
设圆C的方程是(x-t)²+(y-)²=t²+，
令x=0，得y₁=0，y₂=，
令y=0，得x₁=0，x₂=2t
∴S_△OAB=OA×OB=×||×|2t|=4，
即：△OAB的面积为定值；
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分线段MN，
∵k_MN=-2，∴k_oc=，
∴直线OC的方程是y=x，
∴=t，解得：t=2或t=-2，
当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），OC=
此时C到直线y=-2x+4的距离d=＜，
圆C与直线y=-2x+4相交于两点，
当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），OC=此时C到直线y=-2x+4的距离d=＞，
圆C与直线y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合题意舍去，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．