Question

5．已知抛物线y²=$\frac{1}{4}$x，直线l与该抛物线交于A，B两点
（1）若线段AB的中点为（1，2），求直线l的方程
（2）若A，B两点到抛物线的F的距离之和为6，求直线l斜率的范围．

Answer 1

分析 （1）设直线AB方程的斜率为k，根据中点M的坐标写出直线AB的方程，把直线AB与抛物线方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设出点A和B的坐标，根据韦达定理表示出两点的横坐标之和，然后再根据中点坐标公式，由线段AB的中点M的横坐标，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线AB的方程即可．
（2）设直线l的方程为y=kx+b，代入抛物线方程，消去y，利用韦达定理、抛物线的定义，即可求直线l斜率的范围．

解答 解：（1）设直线AB的方程的斜率为k，则直线AB的方程为：y-2=k（x-1），
联立直线AB与抛物线方程，消去y得：k²x²-（2k²-4k+$\frac{1}{4}$）x+（-k+2）²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2-$\frac{4}{k}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
又线段AB的中点为M，
所以x₁+x₂=2，得到8k²-16k+1=8k²，解得k=$\frac{1}{16}$，
则直线AB的方程为：y-2=$\frac{1}{16}$（x-1）即x-16y+31=0．
（2）设直线l的方程为y=kx+b，代入抛物线方程，消去y得：k²x²+（2kb-$\frac{1}{4}$）x+b²=0，
所以x₁+x₂=-$\frac{2b}{k}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，△＞0，可得-kb+$\frac{1}{16}$＞0①
因为A，B两点到抛物线的F的距离之和为6，
所以x₁+x₂+p=-$\frac{2b}{k}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$+$\frac{1}{8}$=6②
由①②可得k＜-$\frac{\sqrt{47}}{47}$或k＞$\frac{\sqrt{47}}{47}$．

点评 本题考查直线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．