Question

【题目】已知动圆恒过点，且与直线： 相切.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）探究在曲线上，是否存在异于原点的两点， ，当时，直线恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）轨迹方程为；（2）直线过定点.

【解析】(1)因为动圆M,过点F且与直线相切, 所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.根据抛物线的定义可以确定点M的轨迹是抛物线，易求其方程.

（II）本小题属于存在性命题，先假设存在A,B在上, 直线AB的方程: ,即AB的方程为,然后根据,∴AB的方程为,从而可确定其所过定点.

解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,

所以圆心M到F的距离等于到直线的距离. …………2分

所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且, , ……4分

所以所求的轨迹方程为……………6分

(2) 假设存在A,B在上, …………7分

∴直线AB的方程: , …………9分

即AB的方程为: , …………10分

即…………11分

又∵∴AB的方程为，…………12分

令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0) …………14分