Question

【题目】如图，△内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，平面，.

（1）求证：⊥平面；

（2）设，表示三棱锥的体积，求函数的解析式及最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）解析式见解析，最大值为3√3.

【解析】分析：（1）要证（1）要证平面，需证平面，需证,用综合法书写即可。

（2）由（1）可知平面，所以体积为,，利用均值不等式求解最大值。

详解：(1)证明：∵四边形DCBE为平行四边形,∴CD∥BE,BC∥DE.

∵DC⊥平面ABC，BC平面ABC，∴DC⊥BC.

∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C.

∴BC⊥平面ADC.

∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；

(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.

在Rt△ABE中,AB=2,EB=3√.

在Rt△ABC中,∵AC=x,BC=4x2√(0<x<2).

∴S△ABC=12ACBC=12x4x2√，

∴V(x)=VEABC=3√6x4x2√,(0<x<2).

∵x2(4x2)(x2+4x22)2=4,当且仅当x2=4x2,即x=2√时，取等号，

∴x=2√时,体积有最大值为3√3.