题目内容
2.已知数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$,an+1=$\frac{{({n+1})({2{a_n}-n})}}{{{a_n}+4n}}$(n∈N*).(1)求a2,a3;
(2)已知存在实数k,使得数列{$\frac{{a}_{n}-k{n}^{2}}{{a}_{n}-n}$}为公差为1的等差数列,求k的值;
(3)记bn=$\frac{1}{{{{({\sqrt{3}})}^{n+2}}{a_{n+2}}}}$(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn>-$\frac{{2\sqrt{3}+1}}{12}$.
分析 (1)运用代入法,计算即可得到所求a2,a3;
(2)由等差数列的定义,可得$\frac{{a}_{2}-4k}{{a}_{2}-2}$-$\frac{{a}_{1}-k}{{a}_{1}-1}$=1,$\frac{{a}_{3}-9k}{{a}_{3}-3}$-$\frac{{a}_{2}-4k}{{a}_{2}-2}$=1,解方程可得k的值;
(3)运用等差数列的通项公式化简可得an=$\frac{2n-{n}^{2}}{n+1}$,求出bn=$\frac{1}{{{{({\sqrt{3}})}^{n+2}}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n+2}•\frac{-n(n+2)}{n+3}}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n+2}(n+2)}$-$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n}n}$],运用裂项相消求和,求得数列{bn}的前n项和为Sn,运用不等式的性质即可得证.
解答 解:(1)数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$,an+1=$\frac{{({n+1})({2{a_n}-n})}}{{{a_n}+4n}}$(n∈N*),
可得a2=$\frac{2(2{a}_{1}-1)}{{a}_{1}+4}$=0;a3=$\frac{3(2{a}_{2}-2)}{{a}_{2}+4}$=$\frac{3×(0-2)}{0+8}$=-$\frac{3}{4}$;
(2)数列{$\frac{{a}_{n}-k{n}^{2}}{{a}_{n}-n}$}为公差为1的等差数列,
可得$\frac{{a}_{2}-4k}{{a}_{2}-2}$-$\frac{{a}_{1}-k}{{a}_{1}-1}$=1,即2k-$\frac{1-2k}{-1}$=1恒成立;
由$\frac{{a}_{3}-9k}{{a}_{3}-3}$-$\frac{{a}_{2}-4k}{{a}_{2}-2}$=1,即$\frac{-\frac{3}{4}-9k}{-\frac{3}{4}-3}$-2k=1,
解得k=2;
(3)证明:由(2)可得$\frac{{a}_{n}-2{n}^{2}}{{a}_{n}-n}$=$\frac{\frac{1}{2}-2}{\frac{1}{2}-1}$+(n-1)=n+2,
化简可得an=$\frac{2n-{n}^{2}}{n+1}$,
bn=$\frac{1}{{{{({\sqrt{3}})}^{n+2}}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n+2}•\frac{-n(n+2)}{n+3}}$
=-$\frac{n+3}{(\sqrt{3})^{n+2}n(n+2)}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n+2}(n+2)}$-$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n}n}$],
则前n项和为Sn=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{(\sqrt{3})^{3}•3}$-$\frac{1}{\sqrt{3}•1}$+$\frac{1}{(\sqrt{3})^{4}•4}$-$\frac{1}{(\sqrt{3})^{2}•2}$+$\frac{1}{(\sqrt{3})^{5}•5}$-$\frac{1}{(\sqrt{3})^{3}•3}$
+…+$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n+1}(n+1)}$-$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n-1}(n-1)}$+$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n+2}(n+2)}$-$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n}n}$]
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n+1}(n+1)}$+$\frac{1}{(\sqrt{3})^{n+2}(n+2)}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{6}$]
>$\frac{1}{2}$(-$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{6}$)=-$\frac{{2\sqrt{3}+1}}{12}$.
即为Sn>-$\frac{{2\sqrt{3}+1}}{12}$.
点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用,考查方程思想和运算能力,以及裂项相消求和方法,不等式的性质,属于中档题.
| A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | 2 | D. | $\sqrt{6}$ |
| 理科 | 文科 | |
| 男 | 13 | 10 |
| 女 | 7 | 20 |
参照独立性检验临界值表,则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性不超过0.05.