Question

17．已知f（x）=（-x²+x-1）e^x（e是自然对数的底数）的图象与g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m的图象有3个不同的交点，则m的取值范围是（$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$，-1）．

Answer 1

分析 令h（x）=f（x）-g（x），求出导数，求出单调区间，和极值，函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，即有h（-1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．

解答 解：令h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m），
则h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）=-（e^x+1）（x²+x），
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1．
∴h（x）在x=-1处取得极小值h（-1）=-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$-m，在x=0处取得极大值h（0）=-1-m，
∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＜0}\\{h（0）＞0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}-m＜0}\\{-1-m＞0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$＜m＜-1，
故答案为：（$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$，-1）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于中档题．