Question

19．已知函数y=sinxcosx．
（1）要得到函数y=-sin²x+$\frac{1}{2}$的图象，需将y=sinxcosx的图象怎么变换得到？
（2）把y=sinxcosx的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到g（x）的图象，求g（x）的解析式，并用“五点法”作出它在一个周期内的图象．

Answer 1

分析 （1）将2个函数用二倍角公式化简，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可解决．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，用“五点法”即可作出它在一个周期内的图象．

解答 解：（1）∵函数y=-sin²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cos2x，
又∵y=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{2}$），
∴只需将y=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{2}$）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位即可得到函数y=-sin²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cos2x的图象．
（2）把y=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到g（x）=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{6}$）]=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
列表：

2x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
y=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）	0	$\frac{1}{2}$	0	-$\frac{1}{2}$	0

描点连线得函数图象如下：

点评 本题主要考察二倍角公式的应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了五点作图法的应用，属于基础题．