Question

（2013•天津）已知首项为

3

2

的等比数列{a_n}不是递减数列，其前n项和为S_n（n∈N^*），且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn=Sn-

1

Sn

(n∈N*)，求数列{T_n}的最大项的值与最小项的值．

Answer 1

分析：（I）设等比数列的公比为q，由S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为

3

2

的等比数列{a_n}不是递减数列，求出q值，可得答案．
（II）由（I）可得S_n的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出Sn-

1

Sn

在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（I）设等比数列的公比为q，
∵S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
∴S₅+a₅-（S₃+a₃）=S₄+a₄-（S₅+a₅）
即4a₅=a₃，
故q²=

a5

a3

=

1

4

又∵数列{a_n}不是递减数列，且等比数列的首项为

3

2

∴q=-

1

2

∴数列{a_n}的通项公式a_n=

3

2

×（-

1

2

）^n-1=（-1）^n-1•

3

2n

（II）由（I）得
S_n=1-（-

1

2

）ⁿ=

1+ 1 2n ，n为奇数 1- 1 2n ，n为偶数

当n为奇数时，S_n随n的增大而减小，所以1＜S_n≤S₁=

3

2

故0＜Sn-

1

Sn

≤S1-

1

S1

=

3

2

-

2

3

=

5

6

当n为偶数时，S_n随n的增大而增大，所以1＞S_n≥S₂=

3

4

故0＞Sn-

1

Sn

≥S2-

1

S2

=

3

4

-

4

3

=-

7

12

综上，对于n∈N^*，总有-

7

12

≤Sn-

1

Sn

≤

5

6

故数列{T_n}的最大项的值为

5

6

，最小项的值为-

7

12

点评：本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力．