Question

已知A、B两点的坐标分别是(-1,0)、(1,0),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为m(m＜0),求点M的轨迹方程并判断轨迹形状.

Answer 1

解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-1,0),所以直线AM的斜率为k_AM=(x≠-1).

同理,直线BM的斜率为k_BM=(x≠1).

由已知有(x≠±1),

化简得点M的轨迹方程为x²+=1(x≠±1).

当m=-1时,M的轨迹方程为x²+y²=1(x≠±1),M的轨迹是单位圆去掉两个点(±1,0).

当-1＜m＜0时,M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉两个点(±1,0).

当m＜-1时,M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆去掉两个点(±1,0).

启示:动点M的轨迹的形状为圆〔去掉点(±1,0)〕或椭圆〔去掉点(±1,0)〕.