Question

（本小题满分14分）已知双曲线（，），、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于、两点，其中点位于第一象限内．

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线、分别与直线交于、两点，求证：；

（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）

（2）见解析

（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）【解析】
由题可知： 1分

∵，∴c＝2 2分

∵，∴，

∴双曲线C的方程为： 3分

（2）证明：设直线的方程为：x＝ty＋2，另设：，，

∴， 4分

∴ 5分

又直线AP的方程为，代入 6分

同理，直线AQ的方程为，代入 7分

∴，

∴

，∴ 9分

（3）【解析】
当直线的方程为时，解得P（2，3），

易知此时为等腰直角三角形，其中 ，

即，也即： 10分

下证：对直线存在斜率的情形也成立，

， 11分

∵，

∴， 12分

∴ 13分

∴结合正切函数在上的图像可知， 14分

考点：考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系．