Question

如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.

（Ⅰ）若点是棱的中点，求证:平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，

所以是的中点.又点是棱的中点，

所以是的中位线，.             

因为平面,平面,

所以平面.                   

（Ⅱ）解：由题意，，

因为，

所以，.  ………………4分

又因为菱形，所以，.

建立空间直角坐标系，如图所示.

.

所以

                     ………………6分

设平面的法向量为，

则有即：

令，则，所以.            ………………7分

因为,所以平面.    

平面的法向量与平行，

所以平面的法向量为.                       ………………8分

，

因为二面角是锐角，

所以二面角的余弦值为.                ……………9分

（Ⅲ）解：因为是线段上一个动点，设，，

则，

所以，                               ……………10分

则，，

由得，即，…………11分

解得或，                                         ……………12分

所以点的坐标为或.                           ……………13分

（也可以答是线段的三等分点，或）