Question

如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.

（Ⅰ）若点是棱的中点，求证:平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.   

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，

所以是的中位线，.                    

因为平面,平面,

所以平面.                          

（Ⅱ）解：由题意，，因为，

所以，.又因为菱形，所以，.

建立空间直角坐标系，如图所示.

.

所以                   

设平面的法向量为，

则有即：

令，则，所以.          

因为,所以平面.    

平面的法向量与平行，

所以平面的法向量为.                      

，因为二面角是锐角，

所以二面角的余弦值为.              

（Ⅲ）解：因为是线段上一个动点，设，，

则，所以，                              

则，，

由得，即，

解得或，                                      

所以点的坐标为或.（也可以答是线段的三等分点，或）