题目内容
已知函数f（x）=
，求函数f（x）在x∈[0，1]上的值域．
| 4x2-7 |
| 2-x |
考点：函数的值域
专题：函数的性质及应用
分析：令t=2-x，则x=2-t，原函数变为f（t）=
=4t+
-16，求导用导数求最值．
| 4(2-t)2-7 |
| t |
| 9 |
| t |
解答：
解：令t=2-x，则x=2-t，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]
原函数变为f（t）=
=4t+
-16，且f（1）=-3、f（2）=-
∴f′(t)=4-
=
∴t∈[1，
]时，f′（t）＜0，函数f（t）在[1，
]上递减；t∈[
，2]时，f′（t）＞0，函数f（t）在[
，2]上递增；
∴当t=
时，函数取最小值，∴f最小值=4×
+
-16=-4，
当t=1时，函数取最大值，∴f最大值=-3．
∴原函数的值域为[-4，-3]
原函数变为f（t）=
| 4(2-t)2-7 |
| t |
| 9 |
| t |
| 7 |
| 2 |
∴f′(t)=4-
| 9 |
| t2 |
4(t+
| ||||
| t2 |
∴t∈[1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴当t=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 9 | ||
|
当t=1时，函数取最大值，∴f最大值=-3．
∴原函数的值域为[-4，-3]
点评：本题主要考查求值域的方法，换元法是经常被采用的方法，此题同时考查导数的应用，注意导数与函数单调性之间的关系．
练习册系列答案
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| ||
C、y=sin(x-
| ||
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