Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²-10x，且集合A={x|f′（x）≤0}，集合B={x|p+1≤x≤2p-1}．若A∪B=A，求p的取值范围．

Answer 1

考点：导数的运算,并集及其运算,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：先求出函数f（x）=

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3

x³-

3

2

x²-10x，解出集合A={x|f′（x）≤0}，然后根据A∪B=A，讨论集合B，求解即可．

解答： 解：∵函数f（x）=

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x³-

3

2

x²-10x，
∴f′（x）=x²-3x-10，
由f′（x）≤0，得-2≤x≤5，
由A∪B=A，得B⊆A，
故当（1）B≠∅时，

p+1≤2p-1 -2≤p+1 2p-1≤5

，解得2≤p≤3，
（2）当B=∅时，得p+1＞2p-1，解得p＜2，
综上，p≤3，
故p的取值范围是p≤3．

点评：本题主要考查导数的求解，集合的运算，属于基础题．