Question

（本小题满分12分）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点， 是线段上的点．

（I）当是的中点时，求证：平面；
（II）要使二面角的大小为，试确定点的位置．

Answer 1

（I）只需证；（II）。

试题分析：【法一】（I）证明：如图，取的中点，连接．

由已知得且，
又是的中点，则且，
是平行四边形，                    ………………
∴
又平面，平面
平面………………………
（II）如图，作交的延长线于.
连接，由三垂线定理得，
是二面角的平面角．即…………………
，设，
由可得
故，要使要使二面角的大小为，只需………………
【法二】（I）由已知，两两垂直，分别以它们所在直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，则………………
，，，
设平面的法向量为
则，
令得………………………………………
由，得
又平面，故平面…………………
（II）由已知可得平面的一个法向量为，
设，设平面的法向量为
则，令得……………
由，
故，要使要使二面角的大小为，只需……………
点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角或补角； ②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。