Question

【题目】已知正方体的棱长为为的中点，下列说法中正确的是（ ）

A.与所成的角大于

B.点到平面的距离为1

C.三棱锥的外接球的表面积为

D.直线与平面所成的角为

Answer 1

【答案】D

【解析】

对于A选项，取的中点为，可得，则为与所成的角，结合余弦定理即可判断；

对于B选项，求出四棱锥的所有棱长，从而可得四棱锥的高即为点到平面的距离；

对于C选项，可判断三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，根据勾股定理可求出四棱锥的外接球半径，再根据球的表面积公式即可判断；

对于D选项，设交平面于点，通过线面垂直的判定定理，可推出，从而可找出直线与平面所成的角，再利用余弦定理即可求得直线与平面所成的角的大小.

解：如图，正方体的棱长为为的中点，

对于，取的中点为，连接，

则，则与所成的角即为与所成的角，即为，

在中，，，

，

由余弦定理得：，

即，而异面直线夹角为，即，

所以，故A不正确；

连接，

因为为矩形，且，，，

则四棱锥的顶点投影在底面的中心，即底面对角线的中点，

而底面的对角线为：，

则四棱锥的高为：，

即点到平面的距离为，故B不正确；

由图可知，、、、的四点共面，

所以三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，

设四棱锥的外接球半径为，

则，解得，

则三棱锥的外接球表面积，故C不正确；

连接，其中与交于点，

交平面于点，连接，

由于四点共面，平面在平面内，

则直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，

因为正方体，则，

而平面，则，且，

所以平面，平面，

则，则为直线与平面所成的角，

在中，，

则，得，

所以在中，，则，

即：直线与平面所成的角为，

所以直线与平面所成的角为，故D正确.

故选：D.