Question

【题目】设函数．

（）若，求函数的单调区间．

（）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．

（）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为．

Answer 1

【答案】（）单调减区间为，单调增区间为．（）（）见解析

【解析】试题分析：（1）当时，求出函数的导函数，分别令和，解出不等式得单调区间；（2）函数在区间上是减函数，即对任意恒成立，利用分离参数法可得最后结果；（3）设切点为，对函数进行求导，根据导数的几何意义得，根据切线过原点，可得斜率为，两者相等化简可得，先证存在性，再通过单调性证明唯一性.

试题解析：（）当时， ， ，令，则，令，则，∴函数的单调减区间为，单调增区间为．

（），∵在区间上是减函数，∴对任意恒成立，即对任意恒成立，

令，则，易知在上单调递减，∴，∴．

（）设切点为， ，∴切线的斜率，

又切线过原点， ，∴，即，

∴，存在性， 满足方程，

所以是方程的根唯一性，

设，则，∴在上单调递增，且，∴方程有唯一解，综上，过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为．