Question

【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围；

（2）记两个极值点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：(1)把函数在定义域内有两个不同极值点，转化在上有两个不同的解，即方程在上有两个不同的解，构造新函数，利用函数的性质求解；（2）把等价于，转化为不等式，转化为原式等价于恒成立，令，等价于在上恒成立，令，求解导数，利用的性质，可求解的取值范围.

试题解析：（1）依题意，函数的定义域为，所以在上有两个不同的解，即方程在上有两个不同的解，也即在上有两个不同的解，

令，，所以当时，，当时，，

所以在上单增，在上单减，所以，又，

当时，时，，所以.

（2）等价于，

因为为方程的两根，，，

所以，因为，

所以原式等价于.

又，，作差得，

所以原式等价于恒成立，

令，上式等价于在上恒成立，

令，所以，

所以①当时，，所以在上单增，因此，满足条件；

②当时，在上单增，在上单减，

又，所以在上不能恒小于零.

综上：.