Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{c_{n}}满足：b_n=

c1

2+1

-

c2

22+1

+

c3

23+1

-

c4

24+1

+…+（-1）ⁿ

cn

2n+1

 （n∈N^*），求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）通过b_n-1-b_n等于常数2，即可证明数列是等差数列；然后求出b₁的值，就可以得出数列的b_n的通项公式然后代入b_n=

2

2an-1

，从而得出an的通项公式．
（2）先根据条件得出b_n-1，然后b_n-b_n-1=(-1)n-1

cn

2n+1

=2，从而求出通项公式，再验证当n=1时，也符合通项公式，即可求出结果．

解答：（1）证明：∵bn-1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2(n∈N*)∴数列{bn}是等差数列（3分 ）
∵a₁=1，∴b1=

2

2a1-1

=2∴b_n=2+（n-1）×2=2n （5分）
由bn=

2

2an-1

得，2an-1=

2

bn

=

1

n

(n∈N*)∴an=

n+1

2n

（7分）
（2）解：∵bn=

c1

2+1

-

c2

22+1

+

c3

23+1

-

c4

24+1

+…+(-1)n-1

cn

2n+1

（n∈N^*），①
∴bn-1=

c1

2+1

-

c2

22+1

+

c3

23+1

-

c4

24+1

+…+(-1)n-2

cn-1

2n-1+1

（n≥2），②（10分）
①-②得：(-1)n-1

cn

2n+1

=2 ②（n≥2），
c_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2），（12分）
当n=1 时，b1=

c1

3

　
∴c1=6满足上式　　　　
∴c_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）　　　　（14分 ）

点评：本题考查了数列递推式以及等差数列的确定，（2）问中不要忘记验证n=1时是否符合通项公式，属于中档题．