Question

（本小题满分14分)如图，椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率．过的直线交椭圆于两点，且△的周长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）证明见解析.

试题分析：（Ⅰ）∵过的直线交椭圆于两点，且△的周长为．
∴∴∵，∴,∴
∴椭圆的方程为                                          ……4分
（Ⅱ）由，消元可得:       ……5分
∵动直线：与椭圆有且只有一个公共点，
∴∴∴,     
此时即,
由得                                   　　　……8分
取，此时，
以为直径的圆为，交轴于点,
取，此时，
以为直径的圆为交轴于点或,
故若满足条件的点存在，即，                                ……1２分
证明如下
∵，
∴
故以为直径的圆恒过轴上的定点.                          ……1４分
点评：遇到直线与椭圆的位置关系的题目，往往免不了要把直线方程和椭圆方程联立方程组，消去一个未知数，然后利用根与系数的关系进行解答，有时也和向量结合起来解决问题，运算量比较大，难度中等偏上，但是是高考中常考的题目，必须加以重视.