题目内容
已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2.
（1）若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{bn}是等比数列.
（2）若数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列?若是,请求出通项公式;若不是,请说明理由.
（3）若数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求证：
＜
.
解：(1)依题意数列{an}的通项公式是an=n，
故等式即为bn+2bn-1+3bn-2+…+(n-1)b2+nb1=2n+1-n-2，
同时有bn-1+2bn-2+3bn-3+…+(n-2)b2+(n-1)b1=2n-n-1(n≥2)，
两式相减可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1,
可得数列{bn}的通项公式是bn=2n-1，
知数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为q，则bn=bqn-1，从而有
bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2.
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1(n≥2)，
故(2n-n-1)q+ban=2n+1-n-2,
an=×2n+×n+
.
要使an+1-an是与n无关的常数，必需q=2，
即①当等比数列{bn}的公比q=2时，数列{an}是等差数列，其通项公式是an=
；
②当等比数列{bn}的公比不是2时，数列{an}不是等差数列.
(3)由(2)知anbn=n·2n，
=
+
+
+
+…+
,
＜
+
+
+
+…+
(n≥5)
=
+
+
+
×
=
+
+
+
×(
)n-3
=
×(
)n-3＜
×(
)n-3＜
.
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