Question

（2012•安徽模拟）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，AM=

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，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A₁D₁的距离与点P到M的距离的平方差为

8

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，则P点的轨迹是

抛物线

．

Answer 1

分析：以A为原点，AB、AA₁分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，得M（0，

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3

，0）．设P（x，y，0），用空间两点的距离公式，结合题意列出关于x、y的方程，化简整理得抛物线方程：x²=

2

3

y，即得本题的答案．

解答：解：以A为原点，AB、AA₁分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系
则M（0，

1

3

，0），设P（x，y，0），
设PR⊥A₁D₁于R，则PR是点P到直线A₁D₁的距离
PR²=y²+1，PM²=x²+（y-

1

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）²，
由题意，得PR²-PM²=y²+1-[x²+（y-

1

3

）²]=

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化简，得x²=

2

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y，
故P的轨迹是以A为顶点，AB为轴的抛物线
故答案为：抛物线

点评：本题在正方体中给出动点到定直线距离与到定点距离平方差为定值，着重考查了空间两点间的距离公式和曲线与方程等知识，属于中档题．