题目内容

给定集合A_n={1，2，3，…，n}，映射f：A_n→A_n满足：
①当i，j∈A_n，i≠j时，f（i）≠f（j）；
②任取m∈A_n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}．
则称映射f：A_n→A_n是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一个“优映射”．
表1　　　　　　　　　　　　　　　
i 1 2 3
f（i） 2 3 1
表2
i 1 2 3 4
f（i） 3
（1）已知表2表示的映射f：A₄→A₄是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若映射f：A₁₀→A₁₀是“优映射”，且方程f（i）=i的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是________．

解；（1）

；
（2）根据优映射的定义可知：f（1）≠1，
∵m≥2，则有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且映射f：A₁₀→A₁₀是“优映射”，且方程f（i）=i的解恰有6个，
故有C₉⁶=84
故答案为：

，84
分析：（1）根据“优映射”的定义可得，

．
（2）根据“优映射”的定义，可知f（1）≠1，m≥2，根据m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且方程f（i）=i的解恰有6个，因此从2，3，…10这9个数中选取6个满足方程f（i）=i即可求得结果．
点评：本题考查映射的定义，“优映射”的定义，判断f（1）≠1，是解题的关键，是一道不错的创新题，属中档题．

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24、给定集合A_n={1，2，3，…，n}，映射f：A_n→A_n，同时满足：
①当i，j∈A_n，i≠j时，f（i）≠f（j）；
②任取m∈A_n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．
则称映射f：A_n→A_n是一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一个“优映射”．

表1					表2
	1	2	3			1	2	3	4	5
	2	3	1

已知表2表示的映射f：A₅-A₅是一个“优映射”，且方程f（i）=i的解恰有3个，则这样的“优映射”的个数是

14、给定集合An={1，2，3，…，n}，n∈N^*．若f是An→An的映射，且满足：
（1）任取i，j∈An，若i≠j，则f（i）≠f（j）；
（2）任取m∈An，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．
则称映射f为An→An的一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一个“优映射”．
表1

i	1	2	3
f（i）	2	3	1

i	1	2	3	4
f（i）		3

（1）已知f：A₄→A₄是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若f：A₂₀₁₀→A₂₀₁₀是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1007）的最大值为

给定集合A_n={1，2，3…，n}，n∈N^*．若f是A_n→A_n的映射，且满足：
（1）任取i，j∈A_n，若i≠j，则f（i）≠f（j）；
（2）任取m∈A_n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2，…，f（m））}．则称映射f为A_n→A_n的一个“优映射”．例如：用表表示的映射f：A₃→A₃是一个“优映射”．

表
i	1	2	3
f（i）	2	3	1

若f：A₂₀₁₀→A₂₀₁₀是“优映射”，且f（1005）=1，则f（1001）+f（1009）的最大值为

给定集合A_n={1，2，3，…，n}，映射f：A_n→A_n满足：
①当i，j∈A_n，i≠j时，f（i）≠f（j）；
②任取m∈A_n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}．
则称映射f：A_n→A_n是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一个“优映射”．
表1

i	1	2	3
f（i）	2	3	1

i	1	2	3	4
f（i）		3

（1）已知表2表示的映射f：A₄→A₄是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若映射f：A₁₀→A₁₀是“优映射”，且方程f（i）=i的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是

给定集合A_n ={1,2,3,…,n}()，映射满足：①当时，；②任取，若，则有．则称映射是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射是一个“优映射”．

表1 表2

i	1	2	3
f(i)	2	3	1

i	1	2	3	4
f(i)		3

（1）已知表2表示的映射是一个“优映射”，请把表2补充完整．

（2）若映射是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是．