Question

已知a

1

3

+a-

1

3

=3，求下列各式的值：
（1）a+a^-1；
（2）

a 3 2 -a- 3 2

a 1 2 -a- 1 2

．

Answer 1

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算

专题：计算题

分析：（1）把要求的式子展开，结合两数和的平方公式和已知条件求解；
（2）由（1）中求得的值求a

1

2

-a-

1

2

的值，再由立方差公式求a

3

2

-a-

3

2

的值，则答案可求．

解答： 解：（1）∵a

1

3

+a-

1

3

=3，
∴a+a-1=(a

1

3

)3+(a-

1

3

)3
=(a

1

3

+a-

1

3

)(a

2

3

+a-

2

3

-1)
=3[(a

1

3

+a-

1

3

)2-2-1]
=3×（3²-3）=18；
（2）∵a+a^-1=18，
∴(a

1

2

-a-

1

2

)2=a+a-1-2=18-2=16，
∴a

1

2

-a-

1

2

=±4．
a

3

2

-a-

3

2

=(a

1

2

-a-

1

2

)(a+a-1+1)
当a

1

2

-a-

1

2

=-4时，a

3

2

-a-

3

2

=-4×19=-76，

a 3 2 -a- 3 2

a 1 2 -a- 1 2

=

-76

-4

=19；
当a

1

2

-a-

1

2

=4时，a

3

2

-a-

3

2

=4×19=76，

a 3 2 -a- 3 2

a 1 2 -a- 1 2

=

76

4

=19．
∴

a 3 2 -a- 3 2

a 1 2 -a- 1 2

=19．

点评：本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，考查了立方和与立方差公式，是基础题．