Question

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x+2^-x．
（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；
（2）判断f（x）在（-2，-1）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据奇函数f（x）的定义域为R，周期为2得到f（-1）=f（-1+2）=f（1），且f（-1）=-f（1），求出f（-1）=0；再结合x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），f（x）=-f（-x）=-即可得到结论．
（2）方法一：用单调性的定义证明即可．
方法二：先求出其导函数，再结合导函数的正负即可得到结论．
解答：解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，
所以f（-1）=f（-1+2）=f（1），且f（-1）=-f（1），于是f（-1）=0．…（2分）
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），f（x）=-f（-x）=-（2^-x+2^x）=-2^x-2^-x．…（5分）
所以f（x）在[-1，0）上的解析式为…（7分）
（2）f（x）在（-2，-1）上是单调增函数．…（9分）
先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．
[方法1]设0＜x₁＜x₂＜1，
则
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以，于是，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）
因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）
[方法2]当x∈（0，1）时，f'（x）=（2^x-2^-x）ln2．
因为ln2＞0，2^x-2^-x＞0，所以f'（x）=（2^x-2^-x）ln2＞0，
所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）
因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）
[注]第（2）小题亦可利用周期性求出f（x）=2^x+2+2^-x-2（-2＜x＜-1），再利用定义或导数确定单调性．
点评：本题考查奇偶性、周期性的综合应用，及函数单调性的证明，综合性较强．