Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n．且a₁+2a₂3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n，对n分别赋值，即可求a₁，a₂的值；
（2）再写一式，两式相减，化简即可得到结论；
（3）n≥2，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，n=1，a₁=S₁=2，符合．

解答 （1）解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=2×1=2；   
当n=2时，a₁+2a₂=（a₁+a₂）+4，∴a₂=4；  
（2）证明：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），①
∴当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②
①-②得na_n=（n-1）S_n-（n-2）S_n-1+2
∴na_n=n（S_n-S_n-1）-S_n+2S_n-1+2
∴na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2．
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，
∴S_n+2=2（S_n-1+2）．          
∵S₁+2=4≠0，∴S_n-1+2≠0，∴故{S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（3）解：S_n+2=2ⁿ⁺¹，∴S_n=2ⁿ⁺¹-2，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ．
n=1，a₁=S₁=2，符合，
∴a_n=2ⁿ．

点评 本题考查数列递推式，考查数列{a_n}的通项公式，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．