Question

17．如图所示，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）设DC=a，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）而$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），所以$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{n}$=0，即$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{n}$，即可证得AM∥平面PBC；
（2）求出$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-2），利用向量夹角公式，即可求得PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）由（1）平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，a，0），利用向量数量积公式，即可求点D到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：如图建立空间直角坐标系，
设PD=CD=2AD=2，BC=$\sqrt{2}$a，则A（1，0，0），B（a，2-a，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，0，1）．    
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
$\left\{\begin{array}{l}{ax+y（2-a）-2z=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$
令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
而$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），所以$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{n}$=0，即$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{n}$，
又AM?平面PBC，
故AM∥平面PBC；．…（9分）
（2）解：$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-2），设PA与平面PBC所成角为α，
由直线与平面所成角的向量公式有sinα=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
（3）解：由（1）平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，a，0），
∴点D到平面PBC的距离=$\frac{a}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．

点评 本题考查线面平行，考查线面角，点到平面距离的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．