题目内容

已知
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[-
π
3
，
π
4
]．
（Ⅰ）求
a
•
b
及|
a
+
b
|
（Ⅱ）若f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|，求f（x）的最大值和最小值．
（Ⅰ）由题意可得：因为
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
所以
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x，
所以|
a
+
b
|=
|
a
|2+|
b
|2+2
a
•
b
=2|cosx|=2cosx，x∈[-
π
3
，
π
4
]．
（Ⅱ）由（I）可得：f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|
=cos2x-2cosx
=2cos2x-1-2cosx
=2(cosx-
1
2
)2-
3
2

∵x∈[-
π
3
，
π
4
]
∴cosx∈[
2
2
，1]，
设t=cosx，则t∈[
2
2
，1]，
所以y=2(t-
1
2
)2-
3
2
，
∴f(x)max=-1，f(x)min=-
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（cos
3
x，sin
3
x），
b
=（cosx，sinx）（0＜x＜π）．设函数f（x）=
a
•
b
，且f（x）+f'（x）为偶函数．
（1）求x的值；
（2）求f（x）的单调增区间．
已知tgx=a，求
3sinx+sin3x3cosx+cos3x
的值．
设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y=sinnx在[0，
π
n
]上的面积为
2
n
(n∈N*)，则函数y=cos3x在[0，
5π
6
]上的面积为
5
3
5
3
．
（2012•湛江模拟）已知函数f(x)=
3
sin3x+cos3x+a过点(
π
3
，0)．
（1）求a的值及函数y=f（x）的最小正周期；
（2）若β∈[0，
π
3
]且f(
β
3
)=2，求cos(β+
π
6
)的值．
（2006•松江区模拟）（理）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y=sinnx在[0，
π
n
]上的面积为
2
n
(n∈N*)，则函数y=cos3x+1在[0，
5π
6
]上的面积为
5π+2
6
5π+2
6
．

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