题目内容
直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．则直线l过定点 ．
【答案】分析：联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得y=kx-2k=k（x-2），显然直线恒过（2，0），注意对直线的斜率的讨论．
解答：解：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．（2分）
联立方程得：
消去y得k2x2+（2kb-2）x+b2=0
由题意：
（5分）
又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，（7分）
即
，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）
故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0
联立方程得：
解得 
，即y1y2=-2m
又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）
综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
故答案为：（2，0）．
点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，属于基础题．
解答：解：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．（2分）
联立方程得：
消去y得k2x2+（2kb-2）x+b2=0由题意：
（5分）又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，（7分）
即
，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0
联立方程得：
解得 
，即y1y2=-2m又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）
综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
故答案为：（2，0）．
点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，属于基础题．
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