题目内容
已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
.
=2
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，记f(x，y，z)=
+
+
则f（x，y，z）的最小值是
| AB |
| AC |
| 3 |
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 9 |
| z |
36
36
．分析：先由条件求得AB•AC=4，再由 S△ABC=
AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1． 再由f（x，y，z）=
+
+
=（
+
+
）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 9 |
| z |
=（
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 9 |
| z |
解答：解：∵
.
=2
，∠BAC=30°，∴AB•AC•cos30°=2
，∴AB•AC=4．
∵S△ABC=
AB•AC•sin30°=1=x+y+z．
∴f（x，y，z）=
+
+
=（
+
+
）（x+y+z）
=1+4+9++
+
+
+
+
+
=（
+
）+（
+
）+（
+
）
≥14+4+6+12=36，即f(x，y，z)=
+
+
的最小值为36，
故答案为 36．
| AB |
| AC |
| 3 |
| 3 |
∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
∴f（x，y，z）=
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 9 |
| z |
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 9 |
| z |
=1+4+9++
| 4x |
| y |
| 9x |
| z |
| y |
| x |
| 9y |
| z |
| z |
| x |
| 4z |
| y |
| 4x |
| y |
| y |
| x |
| 9x |
| z |
| z |
| x |
| 4z |
| y |
| 9y |
| z |
≥14+4+6+12=36，即f(x，y，z)=
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 9 |
| z |
故答案为 36．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．
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