Question

已知x轴上的两点A，B分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右两个焦点，O为坐标原点，点P(-1，

2

2

)在椭圆上，线段PB与y轴的交点M线段PB的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E、F两点，且

ED

=2

DF

，求直线EF的方程．

Answer 1

分析：（1）利用点P(-1，

2

2

)在椭圆上，线段PB与y轴的交点M线段PB的中点，列出椭圆的三个参数a，b，c的关系，通过解方程组求出a，b，c的值，写出椭圆的方程；
（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立得到关于y的二次方程，利用根与系数的关系及已知条件中的向量关系找到有关直线方程中的待定系数满足的等式，解方程求出直线的方程

解答：解：（1）∵线段PB与y轴的交点M线段PB的中点，
∴OM是△PAB的中位线
∵OM⊥AB，∴PA⊥AB
∵点P(-1，

2

2

)在椭圆上，∴

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

∴a²=2，b²=1，c²=1
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设EF：x=my-1（m＞0），代入椭圆方程得（m²+2）y²-2my-1=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由

ED

=2

DF

，得y₁=-2y₂．
由y₁+y₂=-y₂=

2m

m2+2

，y₁y₂=-2y₂²=

-1

m2+2

得2（-

2m

m2+2

）²=

1

m2+2

，
∴m=

14

7

，m=-

14

7

（舍去），
直线EF的方程为：x=

14

7

y-1，即7x-

14

y+7=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用．解决直线与圆锥曲线的关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线方程联立得到二次方程，再利用根与系数的关系找突破口．