题目内容

证明：当x＞1时，x＞lnx。
证明：设f（x）=x-lnx，则f′（x）=，
∵x＞1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞ f（1）=1，
∴x-lnx＞1，
∴x＞lnx+1＞lnx，
即x＞lnx。
练习册系列答案
相关题目
已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知(1-
1
n+3
)n＜
1
2
，求证(1-
m
n+3
)n＜(
1
2
)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．
（2012•宁城县模拟）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）证明：当x＞1时，
f(x)x-1
＞3恒成立．
（2011•江西模拟）已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”．
对任意x∈R，给定区间[k-
1
2
，k+
1
2
]（k∈Z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．
（1）写出f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=loga
x
，（e-
1
2
＜a＜1），试证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）；
（3）求方程f（x）-loga
x
=0的实根，（e-
1
2
＜a＜1）．

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