Question

（2012•宁城县模拟）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）证明：当x＞1时，

f(x)

x-1

＞3恒成立．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；
（2）构造g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，求导函数可得g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4），进而可得g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得证．

解答：（1）解：求导数可得f′（x）=a+lnx+1
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，-----------------------（3分）
（2）证明：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
令g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，则g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，-----------------------（5分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）
所以函数g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0．
因为x₀＞3，所以x＞1时，

f(x)

x-1

＞3恒成立     …（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．