Question

已知函数f(x)＝log₄(ax²＋2x＋3)．

(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；

(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．

Answer 1

解析：　(1)因为f(x)的定义域为R，

所以ax²＋2x＋3>0对任意x∈R恒成立，

显然a＝0时不合题意，

从而必有即解得a>.

即a的取值范围是.

(2)∵f(1)＝1，∴log₄(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log₄(－x²＋2x＋3)．

由－x²＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)．

令g(x)＝－x²＋2x＋3.

则g(x)在(－1, 1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

又y＝log₄x在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，

单调递减区间是(1,3)．