Question

设t＞0，数列{a_n}是首项为t，公差为2t的等差数列，其前n项和为S_n，若对于任意n∈N^*，＞恒成立，则t的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出数列的通项公式和前n项和，然后将=＞对于任意n∈N^*恒成立转化成，然后令g（n）=，然后利用导数研究函数的单调性，从而求出g（n）＞，从而得到关于t的不等式，解之即可，注意定义域．
解答：解：∵数列{a_n}是首项为t，公差为2t的等差数列
∴a_n=t+（n-1）×2t=2tn-t
∴S_n===tn²
∴==＞对于任意n∈N^*恒成立，
即
令g（n）=，g'（n）=
∴g（n）=在[1，+∞）为单调减函数，则当n→∞时，g（n）→
∴≥，且t＞0解得0＜t≤1
故答案为：0＜t≤1
点评：本题主要考查了等差数列的通项与求和，以及恒成立问题和数列与不等式的综合，同时考查了转化的思想，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．