Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和为B_n；
（3）设cn=tan(t＞0)，数列{c_n}的前n项和T_n，求

lim

n→∞

Tn+1

Tn

的值．

Answer 1

分析：（1）利用点在函数的图象上，求出S_n，然后利用an=s_n-s_n-1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出bn=

1

an•an+1

，利用裂项法直接求解数列{b_n}的前n项和为B_n；
（3）通过cn=tan(t＞0)，判断数列{c_n}是等比数列，求出它的前n项和T_n，然后求

lim

n→∞

Tn+1

Tn

的值．

解答：（本题满分（14分），第（1）小题（5分），第（2）小题（5分），第（3）小题4分））
解：（1）因为点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上
所以Sn=n2+2nn∈N*------------------------（1分）
当n=1时，a₁=S₁=1+2=3
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1（*）
令n=1，a₁=2+1=3，也满足（*）式-------------------（3分）
所以，数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1．------------------------（4分）
（2）bn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)------------------------（6分）
∴Bn=

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

6n+9

---------------（8分）
（3）因为cn=t2n+1，所以

cn+1

cn

=t2，
则数列{c_n}成公比为等比数列t²的等比数列．
∵t＞0
当t=1时，T_n=n；t＞0，t≠1，Tn=

t3(1-t2n)

1-t2

；------------------------（10分）
当t=1时，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

n+1

n

=1
当t＞1时，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

=t2
当0＜t＜1时，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

=1．
∴

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

1，0＜t≤1 t2，t＞1

-------------（14分）

点评：本题考查数列的极限，等差数列的通项公式，数列的求和的应用，考查转化思想计算能力．