Question

已知向量

m

=(sinωx，-

3

cosωx)，

n

=(sinωx，cos(ωx+

π

2

))（ω＞0），且函数f(x)=

m

•

n

的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若方程f（x）-a=0在[0，

π

2

]上有且只有一个实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面向量的数量积公式以及二倍角和辅助角公式，求出函数f（x）的解析式，进而根据其最小正周期为π，求出ω的值；
（Ⅱ）先把问题转化为函数y=sin(2x-

π

6

)的图象与直线y=a-

1

2

只有一个交点，结合图象即可得到结论．

解答：解：∵f(x)=sin2ωx+

3

cosωxsinωx=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

（Ⅰ）由已知T=

2π

2ω

=π，即有ω=1；                           （6分）
（Ⅱ）由已知方程sin(2x-

π

6

)=a-

1

2

在[0，

π

2

]上有且只有一个实数根，
等价于函数y=sin(2x-

π

6

)的图象与直线y=a-

1

2

只有一个交点，
画图可得，-

1

2

≤a-

1

2

＜

1

2

或者a-

1

2

=1，即有0≤a＜1或a=

3

2

．（12分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，熟练掌握三角函数的性质，是解答本题的关键．