题目内容

在数列{an}中，若对任意的n∈N*，都有（t为常数），则称数列{an}为比等差数列，t称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列{an}满足，则数列{an}是比等差数列，且比公差；
③若数列{cn}满足c1=1，c2=1，cn=cn-1+cn-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
【答案】分析：①由等比数列的特点，代入可知满足新定义，若等差数列的公差d=0时满足题意，当d≠0时，不是比等差数列，可知正确；②代入新定义验证可知，不满足；③由递推公式计算数列的前4项，可得，故该数列不是比等差数列；④可举{an}为0列，则数列{anbn}为0列，显然不满足定义．
解答：解：①若数列{an}为等比数列，且公比为q，则，为常数，故等比数列一定是比等差数列，
若数列{an}为等差数列，且公差为d，当d=0时，，为常数，是比等差数列，
当d≠0时，不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确；
②若数列{an}满足，则=-不为常数，故数列{an}不是比等差数列，故错误；
③若数列{cn}满足c1=1，c2=1，cn=cn-1+cn-2（n≥3），可得c3=2，c4=3，故，
显然，故该数列不是比等差数列，故正确；
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，可举{an}为0列，则数列{anbn}为0列，显然不满足定义，即数列{anbn}不是比等差数列，故错误．
故答案为：D
点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及等差数列和等比数列以及新定义，属基础题．
练习册系列答案
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在数列{an}中，若a1=
1
2
，an=
1
1-an-1
（n≥2，n∈N*），则a2010等于
 
．
在数列{an}中，若an2-an-12=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{（-1）n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为（　　）
A、①②③B、①②④C、①②③④D、②③④
在数列{an}中，若a1=2，an=
1
1-an-1
(n≥2，n∈N*)，则a7等于（　　）
在数列{an}中，若a1=2，a2=6，且当n∈N*时，an+2是an•an+1的个位数字，则a2011=（　　）
已知无穷数列{an}具有如下性质：①a1为正整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an+1=
a n
2
；当an为奇数时，an+1=
an+1
2
．在数列{an}中，若当n≥k时，an=1，当1≤n＜k时，an＞1（k≥2，k∈N*），则首项a1可取数值的个数为
 
（用k表示）．

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