Question

已知无穷数列{a_n}具有如下性质：①a₁为正整数；②对于任意的正整数n，当a_n为偶数时，a_n+1=

a n

2

；当a_n为奇数时，a_n+1=

an+1

2

．在数列{a_n}中，若当n≥k时，a_n=1，当1≤n＜k时，a_n＞1（k≥2，k∈N^*），则首项a₁可取数值的个数为

 

（用k表示）．

Answer 1

分析：我们用倒推的方式，当n≥k时，a_n=1，则a_n-1=2，a_n-2=3或4，即2个；a_n-3=5或6或7或8，即4个；a_n-4=9或10或11或12或13或14或15或16，即8个，从而可得结论．

解答：解：我们用倒推的方式，∵对于任意的正整数n，当a_n为偶数时，a_n+1=

a n

2

；
当a_n为奇数时，a_n+1=

an+1

2

，在数列{a_n}中，若当n≥k时，a_n=1，
∴a_n-1=2，a_n-2=3或4，即2个；a_n-3=5或6或7或8，即4个；a_n-4=9或10或11或12或13或14或15或16，即8个，
由此可知首项a₁可取数值的个数为2^k-2个．
故答案为：2^k-2．

点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，用倒推的方式是解题的关键．