Question

如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形，
(1)证明直线BC∥EF；
(2)求棱锥F-OBED的体积．

Answer 1

(1)证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点， 由于△OAB与△ODE都是正三角形， 所以OBDE，OG=OD=2， 同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2， 又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合． 在△GED和△GFD中，由OBDE和OCDF， 可知B，C分别是GE和GF的中点， 所以BC是△GEF的中位线， 故BC∥EF。 (2)解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知， 而△OED是边长为2的正三角形，故， 所以， 过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q， 由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且， 所以。