Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A₁B₂与直线B₁F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：解法一：可先直线A₁B₂的方程为，直线B₁F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；
解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x^'2+y^'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B₁T方程，直线直线B₁T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．
解答：解法一：由题意，可得直线A₁B₂的方程为，直线B₁F的方程为
两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有
，整理得3a²-10ac-c²=0
即e²+10e-3=0，解得
故答案为
解法二：对椭圆进行压缩变换，，，
椭圆变为单位圆：x^'2+y^'2=1，F'（，0）．
延长TO交圆O于N
易知直线A₁B₁斜率为1，TM=MO=ON=1，，
设T（x′，y′），则，y′=x′+1，
由割线定理：TB₂×TA₁=TM×TN
，
（负值舍去）

易知：B₁（0，-1）
直线B₁T方程：
令y′=0
，即F横坐标
即原椭圆的离心率e=．
故答案：．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．