Question

已知函数f（x）=m•9^x-3^x，若存在非零实数x₀，使得f（-x₀）=f（x₀）成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可得m•9^x-3^x =m•9^-x-3^-x 有解，可得

1

m

=3^x+3^-x ，利用基本不等式求得m的范围．

解答： 解：由题意可得m•9^x-3^x =m•9^-x-3^-x 有解，即m（9^x-9^x ）=（3^x-3^-x ）有解．
可得

1

m

=3^x+3^-x ≥2 ①，求得0＜m≤

1

2

．
再由x₀为非零实数，可得①中等号不成立，故0＜m＜

1

2

，
故答案为：0＜m＜

1

2

．

点评：本题主要考查指数函数的综合应用，基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备，体现了转化的数学思想，属于中档题．