Question

（本题满分15分）设椭圆 C₁：（）的一个顶点与抛物线 C₂： 的焦点重合，F₁，F₂ 分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 F₂ 的直线  与椭圆 C 交于 M，N 两点．

（I）求椭圆C的方程；

（II）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线  的方程；若不存在，说明理由；

（III）若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MN//AB，求证： 为定值．

 

Answer 1

【答案】

椭圆的顶点为，即

，解得，   椭圆的标准方程为 …… 3分

（2）由题可知,直线与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．

②设存在直线为，且，.

由得，  

，，

   = 

所以，故直线的方程为或 …………9分

（3）设,

由（2）可得：  |MN|=

                      =.

由消去y，并整理得： ，

|AB|=，∴  为定值  … 15分

 

【解析】略