题目内容

以边长为 $数学公式$ 的正三角形作为底面的斜三棱柱，它的一条侧棱AA₁与相邻两边都成45⁰角，若此斜三棱柱的侧面积为 $数学公式$ ，则棱柱的侧棱长为________．

2 $\text{[math]}$
分析：根据题意画出斜三棱柱，作出已知的线线角，根据线面垂直的判定定理证明BC⊥B₁B，再由测面积的值列出关于侧棱的方程，然后求出侧棱的值．
解答：过A₁做AA₁的垂线A₁D，取BC的中点E，连接AE，
由题意知A₁在底面上的射影在线段AE上，

∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC，
根据线面垂直的判定定理知，BC⊥平面A₁AE
∴BC⊥AA₁，BC⊥BB₁，
∵AB⊥DA₁，∴∠DAA₁=45⁰，设棱AA₁=a，则DA₁= $\text{[math]}$ ，
∵斜三棱柱的侧面积为4+4 $\text{[math]}$ ，
∴4+4 $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a，
解得，a=2 $\text{[math]}$ ，
故答案为：2 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了棱柱的侧面积问题，需要画出几何体，根据线面垂直的定理进行证明侧面的高线，再由平行四边形的面积公式表示出侧面积，列出对应方程进行求解，难度较大，考查了空间想象能力．

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