Question

已知点M 在椭圆D ：上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点，若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为的正三角形，
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆D上的一点，过点P的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点Q，若，求直线l的斜率；
（Ⅲ）过点G（0，-2）作直线GK与椭圆N：左半部分交于H，K两点，又过椭圆N的右焦点F₁做平行于HK的直线交椭圆N于R，S两点，试判断满足的直线GK是否存在？请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为是边长为的正三角形，
所以圆M的半径，M到y轴的距离为，
即椭圆的半焦距，
此时点的坐标为，
因为点在椭圆：上，
所以，
又，
解得：，
所求椭圆D的方程为。
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，
设直线斜率为k，直线l的方程为，
则有，
设，由于P、Q、F三点共线，且，
根据题意得，
解得，
又P在椭圆D上，
故，解，
综上，直线l的斜率为。
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：椭圆N的方程为…①，
由于，
设直线GK的方程为…②，
则直线RS的方程为…③
设，
联立①②消元得：，
所以，
所以， 
设，
联立①③消元得：，
所以，，，
，
由，化简得：，
显然无解，
所以满足的直线GK不存在。