题目内容

（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解：（1）设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，
所以扇形的周长是2r+rθ．依题意，得2r+rθ=πr，
∴θ=π-2=（π-2）× $\text{[math]}$ ≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，
∴扇形的面积为S= $\text{[math]}$ r²θ= $\text{[math]}$ （π-2）r²．
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20，

即l=20-2r（0＜r＜10）①
扇形的面积S= $\text{[math]}$ lr，将①代入，得S= $\text{[math]}$ （20-2r）r=-r²+10r=-（r-5）²+25，
所以当且仅当r=5时，S有最大值25．此时
l=20-2×5=10，α= $\text{[math]}$ =2．所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值．
分析：（1）设扇形的圆心角，利用弧长公式得到弧长，代入题中条件，求出圆心角的弧度数，再化为度数，利用扇形的面积公式求扇形的面积．
（2）设出弧长和半径，由周长得到弧长和半径的关系，再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式，转化为关于半径的二次函数，配方求出面积的最大值．
点评：本题考查角的弧度数与度数间的转化，扇形的弧长公式和面积公式的应用，体现了转化的数学思想．